论文用换元法证明不等式是关于换元法方面的的相关大学硕士和相关本科毕业论文以及相关换元法论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料下载。
[摘 要] 《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式,《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明,并做了引申性探究. 文章将给出第23个优美不等式的另外一种证法,并给予推广.
[关键词] 优美不等式；证明；推广
《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式,《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明,并做了引申性探究,下面本文将给出第23个优美不等式的另外一种证法,并给予推广.
问题（第23个优美不等式）在△ABC中,求证：
++≥
证明：设?摇++等于s,
则等于,等于,
等于,其中bi>0（i等于1,2,3）,
所以1-sinAsinB等于,1-sinBsinC等于,
1-sinCsinA等于,3-（sinA·sinB+sinBsinC+sinCsinA）等于.
在△ABC中,有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA等于,其中p,R,r分别为△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径.
由熟知不等式知p2≤R2,R≥2r,
所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤等于,
等号成立当且仅当A等于B等于C等于,所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥,
所以s3≥（1）.
要使不等式（1）对bi>0（i等于1,2,3）恒成立,必须有s3≥max·.
又由幂平均不等式知≥,
所以≤9,所以s3≥×9,即s≥,
故 ++≥.
等号成立当且仅当A等于B等于C等于.
推广：在△ABC中,n∈N*,求证：++≥·,等号成立当且仅当A等于B等于C等于.
证明：设s等于++（n∈N+）,
则等于,等于,
等于,其中bi>0（i等于1,2,3）.
所以1-sinAsinB等于,1-sinBsinC等于,
1-sinCsinA等于,
所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）等于.
在△ABC中,有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA等于,其中p,R,r分别是△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径,
由熟知不等式知p2≤R2,R≥2r,
所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤等于,
等號成立当且仅当A等于B等于C等于.
所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥,
所以sn≥·（2）.
要使不等式（2）对于bi>0（i等于1,2,3）,n∈N+恒成立,必须有
sn≥max·.
又由幂平均不等式知≥,所以≤3n-1,
所以sn≥×3n-1,
即s≥,
故 ++≥,
等号成立当且仅当A等于B等于C等于.
在《“柯西不等式”引领不等式证明》中,提出问题5：在△ABC中,设n∈N+且n≥4,求证：∑>2,其中∑表示循环和.
其实比问题5更强命题是：在△ABC中,设n∈N+且n≥4,求证：
∑≥>2.
事实上,当n等于1时,在△ABC中,求证：∑（1-sinAsinB）≥；
当n等于2时,在△ABC中,求证：∑≥；
当n≥4时,在△ABC中,求证：∑≥；
当n等于3时,在△ABC中,n∈N+,求证：Σ≥>2.
因为>2×2n-2>2n>2n>4. 因为n≥4,≥等于>4,
故原不等式成立.
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参考文献：
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