论文利用导数证明不等式方法是关于对写作导数论文范文与课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文求导公式大全论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料下载有帮助。
本文将系统总结在高考试题经常涉及的证明不等式的若干方法.首先我们可以把证明不等式的问题在大的方向分为一个函数思想和两个函数思想,而对于一个函数思想,顾名思义就是在证明不等式时,我们可以将不等式中涉及的所有形式都挪到不等式的同一侧,把这个整体看成一个新的函数,并且在这种函数中经常涉及两类以上的基本初等函数,我们需要借助导数研究其单调性、极值,进而去证明不等式成立.而在处理这类问题的时候,有些时候我们还需要对函数进行一些简单的放缩.下面通过几个简单的实例来给大家介绍：
题目2：P是曲线y等于f（x）等于ex上的动点,Q是曲线y等于g（x）等于lnx上的动点,求PQ的最小值.
分析：本题主要考查反函数的相关知识,导数的几何意义,而在本题中所体现出的两类不等式是我们在利用导数证明不等式问题中特别常用到的放缩手段.
解：因为y等于ex和y等于lnx互为反函数,而反函数的图象关于直线y等于x轴对称,所以我们可以转化为将直线y等于x向上平移和向下平移,使得直线分别和y等于ex和y等于lnx相切,此时两个切点之间的距离即为我们所要求的最小值.f′（x）等于ex,令f′（x）等于ex等于1可得,切点坐标为（0,1）；同理可求g′（x）,令g′（x）等于1可得,切点坐标为（1,0）.所以可以得到PQ的最小值为.
注：我们主要是想从本题解答过程中得到一组不等式：
（1）当x>0时,ex>x+1；变形：ex>x；ex-1>x
（2）当x>0时,x-1>lnx；变形：x>lnx；x>ln（x-1）
下面通过一个实例体会该不等式的应用.
题目3：已知f（x）等于lnx,g（x）等于ex.求证：当x>0时,f（x） 分析：本题的基本思路仍然是一个函数的思想,但是在操作中必须进行适当的放缩才能证明出该不等式. 解：F（x）等于g（x）-f（x）-2等于ex-lnx-2,则F′（x）等于ex-2；则F′（x）单调递增,再根据零点存在性判定定理知F′（1）>0,F′（）<0,所以F′（x）=0在（,1）上有根记为t,从而可知F（x）在（0,t）单调递减,在（t,+∞）单调递增,所以F（x）>F（t）等于et-lnt-2,下面我们必须能证明F（t）等于et-lnt-2>0恒成立即可.此时又回到本题最初的形式,在这种情况下我们可以对F（t）等于et-lnt-2进行放缩,其基本思想是此时et和lnt同时存在我们无法研究导数的零点,因此我们可以把二者之一利用放缩的方式处理掉.具体操纵如下： F（t）等于et-lnt-2>t+1-lnt-2等于t-lnt-1（利用ex>x+1进行放缩）,下面可以构造函数g（t）等于t-lnt-1,下面我们可以证明g（t）>0恒成立即可.而我们知道ex>x也成立,但此时如果我们选择ex>x进行放缩根本不能证出我们的结论；由此可以放缩必须要把握度,不能放得太多,也不能放得太少. 另外,我们可以考虑将lnt处理掉,可以利用lnt和一次式之间的关系（x-1>lnx）进行放缩,则F（t）等于et-lnt-2>et-t+1-2等于et-t-1,下面可以构造函数h（t）等于et-t-1,只需证明h（t）>0恒成立即可. 除此之外,我们还经常涉及两个函数的思想来证明不等式的问题,其基本理念为： 若f（x）min>g（x）max成立,则f（x）>g（x）恒成立； 若f（x）>g（x）恒成立,不一定要f（x）min>g（x）max成立,我们只需保证对于f（x）和g（x）两个函数在每一个自变量处都满足f（x）的函数值大于g（x）的函数值即可. 题目4：证明：ex+x2>sinx+x 解析：本题也要用两个函数思想（若全部挪到不等式的同一侧构造函数,函数中函数指数的形式、幂函数的形式以及三角函数的形式,就算能够把导数求出来,我们也无法确定导数的正负.）在整体构造的过程中我们可以发现：由于（1）sinx的存在导致导数无法处理.（2）我们发现sinx自身有范围.基于以上两点可以构造函数f（x）等于ex+x2-x以及函数g（x）等于sinx,而g（x）∈[-1,1],可以对f（x）等于ex+x2-x进行求导研究其单调性,进而确定y等于f（x）的最值.f′（x）等于ex+2x-1,则f′（x）等于ex+2x-1为增函数,又因为f′（0）等于0,则y等于f（x）在x∈（-∞,0）单调递减,在x∈（0,+∞）单调递增,所以y等于f（x）的最小值为f（0）等于1,而y等于f（x）和y等于g（x）不同时取到1,所以不等式成立. 总结:本论文为免费优秀的关于导数论文范文资料，可用于相关论文写作参考。 参考文献： 1、 导数中切点、切线斜率方程四种类型运用 摘要：导数已成为高考的热点之一。而曲线的切点、切线斜率、切线方程则是导数问题中经常涉及到的词眼。本文对切线问题研究更注重这三个词眼的一体性，通过。 2、 利用导学案激发学生学习潜能浅探 [摘 要]导学案是以课程标准为指导，以培养学生自主学习、主动参与、合作探究、优化发展为目的的一种学习方式，在凸显学生主体地位，激发学生学习潜能方。 3、 例导数中恒成立问题 [摘要]导数是高考必考内容，也是高考热点、难点 导数中的恒成立问题包含三大类，其处理方法是构造函数或分离参变量后构造函数，转化为求新函数的最值问。 4、 利用导数求函数中参数取值范围 [摘要]函数参数的取值范围。不同于自变量的取值范围，求解函数中参数取值范围的方法有很多，利用导數求解是其中一[关键词]导数；参数；函数；取值范。 5、 高中数学导数公式应用 【摘要】在高中数学的学习中，高中数学导数公式的应用在学生的学习中十分重要。导数公式的应用对高中数学中对于函数极值的求解，及函数单调性的判断具有一。 6、 导数在几何中降维作用 美国数学家波利亚（Polya）曾指出：如果一位数学老师用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他。