论文利用导数证明函数不等式五个策略是关于导数方面的论文题目、论文提纲、高中导数论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文。
在近几年的高考和各地的高考模拟试题中,和函数有关的不等式证明问题逐渐受到命题专家的青睐,这类问题具有极强的综合性和技巧性,考查的内容丰富,思想深刻,对于考查考生是否具有扎实的基本功和良好的基本素养不失为一个好的载体.本文立足于当前高中知识,对此类不等式进行了深入的研究.从技巧的角度总结了证明函数不等式的五个策略——构、移、放、分、拆.现结合一些具体例子和大家共享.
1构
“构”就是指从所证不等式的结构和特点出发,利用转化和化归思想,构造一个新的差函数或者商函数,然后借助导数确定函数的单调性、最值问题,从而实现问题的转化,进而使不等式得到证明.其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性→最值→得出不等关系→整理得出结论.基本模式为： （1）证明f（x）
例1已知函数f（x）等于ln（x+1）-x,求证：当x>-1时,恒有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.
分析本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数g（x）等于ln（x+1）+1x+1-1,从其导数入手即可证明.
解析f′（x）等于1x+1-1等于-xx+1, 所以当-1
当x∈（-1,0）时,g′（x）<0；当x∈（0,+∞）时,g′（x）>0 ,即g（x）在x∈（-1,0）上为减函数,在x∈（0,+∞）上为增函数,故函数g（x）在（-1,+∞）上的最小值为g（x）min等于g（0）等于0,
所以当x>-1时,g（x）≥g（0）等于0,即ln（x+1）+1x+1-1≥0,所以ln（x+1）≥1-1x+1,综上可知,当x>-1时,有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.
2移
“移”指的是移项,即移动不等式中有关字母符号,调整其在不等式中的位置,将所证不等式的结构调整优化到合理的形式,将问题解决.
例2（2014年全国课标Ⅰ理科）设函数f（x）等于aexlnx+bex-1x,曲线y等于f（x）在点（1,f（1））处的切线为y等于e（x-1）+2.
（Ⅰ）求a,b； （Ⅱ）证明：f（x）>1.
解析（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为0,+∞,f′（x）等于aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1,
由题意可得f（1）等于2,f′（1）等于e,故a等于1,b等于2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知,f（x）等于exlnx+2ex-1x,要证f（x）>1,即证exlnx+2ex-1x>1, 即证xlnx>xe-x-2e（说明：移动相关的字母,优化不等式的结构）.设函数g（x）等于xlnx,则g′（x）等于1+lnx,所以当x∈0,1e时,g′（x）<0,当x∈1e,+∞时,g′（x）>0,故g（x）在0,1e单调递减,在1e,+∞单调递增,从而g（x）在0,+∞的最小值为g（x）min等于g（1e）等于-1e；设函数h（x）等于xe-x-2e,则h′（x）等于e-x1-x,所以当x∈0,1时,h′（x）>0,当x∈1,+∞时,h′（x）<0,故h（x）在0,1单调递增,在1,+∞单调递减,从而h（x）在0,+∞的最大值为
h（x）max等于h（1）等于-1e.
综上,当x>0时,g（x）≥h（x）,又考虑到g（x）min和h（x）max不是在同一处取到,所以g（x）>h（x）,即f（x）>1.
说明（1）一般来说,x和lnx,x和ex之间采用减、乘、除等运算所得到的函数,如x-lnx,xlnx,lnxx,xlnx以及x-ex,xex, exx,xex等函数有最大值或者最小值,也是基于这样的原因,本题在移动有关字母符号进行结构优化时,注意了这种搭配.
（2）注意：当x∈（a,b）时,f（x）min>g（x）maxf（x）>g（x）；
当x∈（a,b）时,f（x）>g（x）推不出f（x）min>g（x）max；
3放
“放”指的是将不等式的一侧的值放大或者放小,将不等式的结构优化成合理结构,然后获得解决.放缩的依据是常用的几个不等式：ex≥x+1,lnx≤x-1,sinx≤x（x≥0）等.
例3（2013年全國数学课标卷Ⅱ理科） 已知函数f（x）等于ex-ln（x+m）,
（Ⅰ）设x等于0是f（x）的极值点,求m,并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时,证明f（x）>0.
解析（Ⅰ）略； （Ⅱ）当m≤2时,x+1≥x+m-1,只需证明ex≥x+1,且x+m-1≥ln（x+m）,再指出“等于”不能成立即可.设g（x）等于ex-（x+1）,g′x等于ex-1,x1等于0是g（x）等于ex-1-x的极小值点,也是最小值点,即g（x）≥g（0）等于0,所以ex≥x+1,令h（x）等于lnx-（x-1）,h′x等于1x-1等于1-xx,x2等于1是h（x）等于lnx-（x-1）的极大值点,也是最大值点,即h（x）≤h（1）等于0,所以lnx≤（x-1）,以x+m代替x,有x+m-1≥ln（x+m）,此处等号取到的条件是x3+m等于1,即x3等于1-m.这样ex≥x+1≥x+m-1≥ln（x+m）, “等于”成立的条件是：m-1等于1,且x1等于x3,即m-1等于1,且0等于1-m,于是m等于1且m等于2.（矛盾）所以f（x）>0.
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参考文献：
1、 利用分离函数法证明函数不等式 令f（x）=lnx-（x2-x），则f′（x）=1x-2x+1=-（x-1）（2x+1）x，当00，f（x）单调递增，所以f（x）当x>1时。
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