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课本的习题是整个教材的重要组成部分,是经过专家们精心挑选的,具有针对性、基础性和代表性.近年来,各地的中考数学试题蕴藏着习题影子,这对我们的数学学习起到了很好的导向作用.大家可以对习题进行充分探究,挖掘习题的潜在价值,通过少量习题的练习总结出解决一类题型的方法,提炼出解题策略和思想方法,从而启发思维,提高解题能力.本文以书中一道习题为例,看看它是怎样慢慢蜕变成一道中考题的.
一、 原题（苏科版教材九下第86页习题6.7）
如图,某一时刻,旗杆AB的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙上.设旗杆AB在地面上的影长BC为20 m,墙面上的影长CD为4 m.同一时刻,竖立于地面长1 m的标杆的影长为0.8 m,求旗杆的高度.
【分析】这是一个实际问题,首先要将问题中的立体图形转化成平面图形,旗杆看成线段AB,落在地上的影子看成线段BC,落在墙上的影子看成线段CD,太阳光线为AD,则本题转化成四边形ABCD.我们知道,在平行光线的照射下,在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例.利用“平行投影的性质”,我们可以解决一些实际问题.但是此题多了一堵墙,使得旗杆的影子部分落在墙上,“平行投影的性质”不能直接应用,我们可以转化成没有墙的情况,让旗杆影子全部落在地上,再利用平行投影的性质,问题便得以解决.如果没有墙壁,影子会落在哪儿?我们尝试着让旗杆的影子“穿过”墙壁,作出图形.
方法一：如图1,分别延长AD、BC,相交于点E,根据题意,得： 等于 ,
∴CE等于0.8×4等于3.2（m）,
∴BE等于BC+CE等于20+3.2等于23.2（m）.
由△ECD∽△EBA,得 等于 ,
∴AB等于 等于29（m）.（也可以再次利用“平行投影的性质”求出AB的长度）
【分析】当然我们也可以先求出影子BC所对应的旗杆长度,再利用平行四边形的性质得到剩余部分旗杆长,那么两者之和即为旗杆高度.
方法二：过点C作CF∥DA,交AB于点F.
方法三：过点D作DG⊥AB,垂足为点G.（同学们可以自己完成解题过程）
【点评】三种方法有个共同点,都是想方设法往平行投影的基本图形上转化,要么根据物高找影长,要么根据影长求物高.
二、 蜕皮成蛹
变式：如果旗杆AB的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图2,此时测得地面上影长BC为16 m,坡面上的影长CD为4 m,已知斜坡和地面的夹角为45°,同一时刻,一根长为1 m的标杆影长为0.8 m,求旗杆的高度.
【分析】影子落在墙上的情况我们已经会处理,落在坡上又该如何解呢?这道题目和我们的习题之间又可以进行怎样的转化呢?试想：如果我们能将落在斜坡的影子转化成竖直的影子,那么问题便迎刃而解.沿着这个思路,我们将落在斜坡的影子CD放在等腰直角△CDE中,转化成DE（如图3）,相当于影子落在了墙上,巧妙地和习题产生了联系.
解：如图4,过点D作DE⊥BC,和BC的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AB,
由题意易知Rt△AFD,等腰直角△CED,∠DCE等于45°,DF等于BE,BF等于DE.
在Rt△CED中,设CE等于x,则DE等于x,
则根据勾股定理得：CE等于DE等于4（m）,
∴FD等于BE等于BC+CE等于16+4等于20（m）.
由“平行投影的性质”得：
等于 ,即 等于 ,
∴AF等于 等于25（m）,
∴AB等于AF+FB等于25+4等于29（m）.
【点评】巧妙地利用转化思想,将复杂问题转化成简单问题,未知问题转化成已知问题.
【试一试】如果我们把斜坡和地面的夹角为45°改成斜坡和地面的夹角为30°,聪明的同学,你能算出旗杆的高度吗?
（参 ：20+ +2 （m））
三、 破茧成蝶
（2015·浙江湖州模拟）如图5,坡面CD的坡比（即坡面的垂直高度和水平高度之比）为1∶ ,坡顶的平地BC上有一棵小树AB,当太阳光线和水平线夹角成60°时,测得小树在坡顶平地上的树影BC等于3米,斜坡上的树影CD等于 米,则小树AB的高是________.
【分析】根据题设条件,画出和实际图形相似的平面图形,如图6,类似于变式,遇到不能解决的问题时,我们总尝试着将其和已经解决的问题建立联系,利用“平行投影的性质”解决问题,要么根据物高找影长,要么根据影长求物高.在太阳光的照射下,小树AB的顶端点A的影子落在点D处,画出全部影长DF,DF对应的物高应该有AF那么高,再算出BF即CE的长,小树的高度便可求出.
解：如图7,由题意易知
Rt△AFD,Rt△CED,∠ADF等于60°,FE等于BC等于3（米）,BF等于CE.
在Rt△CED中,设CE等于x,
由坡面CD的坡比为1∶ ,得：
DE等于 x,
由勾股定理得：CE等于 （米）,则DE等于 （米）,∴FD等于FE+ED等于3+ 等于 （米）.
在Rt△AFD中,∠ADF等于60°,
则∠A等于30°,∴AD等于9（米）,
根据勾股定理：AF等于 （米）,
∴AB等于4 （米）.
（你还有其它解法吗?）
【点评】解决此类问题,首先通过理解题意,画出符合题意的平面图形,求树高要找影长,但找影长并不是简单的影长叠加,而应把影子转化到同一平面,转化后借助勾股定理或特殊三角形求出影长,再利用“平行投影的性质”求出相应的物高.
四、 翩翩起舞
不知道同学们读完前面内容后有没有受到启发,接下来看你们的！
数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米,但当他们马上测量树高时,发现树的影子不落在地面上,有一部分影子落在教学楼的台阶上,且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处.同学们认为继续量也可以求出树高,他们测得落在地面的影长为1.1米,台阶总的高度为1.0米,台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）.则树高为________米.（假设两次测量时太阳光线是平行的）
（参 ：4米）
我们的思维成长犹如破茧成蝶,是一个漫长的蜕变过程,本文只是举了一个微不足道的例子,只想用来引发同学们的思考,希望同学们能有所启发,多对习题进行深度思考、挖掘,在做习题时要不断总结,善于找到问题的共性,提炼出一类问题的解法,长此以往,思维成长,解题能力将会大大提高,面对复杂的问题便胸有成竹,犹如破茧后的蝴蝶翩翩起舞.
（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）
总结:此文是一篇破茧成蝶论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
参考文献：
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