论文把握定理特点感受公式之美是适合定理论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关定理有哪些开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
二项式定理是安排在排列组合后的一个内容,其形成过程是组合知识的应用,同时也是自成体系的知识块,为后续课程中的某些内容也起到一定的铺垫作用. 本文对二项式定理及其应用进行剖析,进一步加深大家对定理的认识和理解,从而达到灵活应用定理解决有关问题之目的.
研究定理、体会美感
1. 记定理
（1）二项式定理：[（a+b）x等于C0nan+C1nan-1b+等][+Crnan-rbr+等+Cnnbn],其中右端为[（a+b）n]的展开式.
（2）常用结论：
[（1+x）n等于C0n+C1nx+C2nx2+等+Crnxr+等+Cnnxn.]
[（1-x）n等于C0n-C1nx+C2nx2-等+Crn（-x）r+等+（-1）nCnnxn.]
2. 识通项
二项展开式的通项即[（a+b）n]展开式中的第[r+1]项：[Tr+1等于Crnan-rbr（0≤r≤n,r∈N）.]
3. 认系数
二项展开式中各项的系数依次为[C0n,C1n,C2n,等,Cnn.]
4. 探性质
（1）对称性：和首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即[Cmn等于Cn-mn].
（2）增减性：当[r
（3）最大值：当[n]是偶数时,中间项是第[n2+1]项,它的二项式系数[Cn2n]最大；当[n]是奇数时,中间项有两项,即第[n+12]项和第[n+12+1]项,它们的二项式系数最大,且[Cn-12n等于Cn+12n].
（4）系数和：
[C0n+C1n+等+Cnn等于2n.]
[C0n+C2n+C4n+等等于C1n+C3n+C5n+等等于2n-1].
5. 研形式
二项式定理形式简洁优美,语言表达精炼.
（1）项数：项数为[n+1].
（2）各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数[n],即[a]和[b]的指数的和为[n].
（3）字母排列：字母[a]按降幂排列；字母[b]按升幂排列.
（4）字母次数：从第一项开始,字母[a]的次数由[n]逐项减小1直到零,字母[b]的次数由零逐项增加[1]直到[n].
6. 辨异同
在[Tr+1等于Crnan-rbr（0≤r≤n,r∈N）]中,[Crn]是该项的二项式系数,它和该项的系数是两个不同的概念. 前者是指[Crn],只和[n]和[r]有关,且恒为正数；后者不仅和[n]和[r]有关,其值还和[a,b]有关,可正可负.
应用定理、体验收获
1. 逆用定理
例1 [C1n+C2n?6+C3n?62+等+Cnn?6n-1等于 .]
解析 ∵[（1+6）n等于C0n+C1n?6+C2n?62+等+Cnn?6n],
[∴C1n+C2n?6+C3n?62+等+Cnn?6n-1等于16（C1n?6+C2n?62+等+Cnn?6n）]
[等于16（C0n+C1n?6+C2n?62+等+Cnn?6n-1）等于16[（1+6）n-1]等于16（7n-1）.]
点拨 根据题设形式,结合二项式定理,我们构造[（1+6）n等于C0n+C1n?6+C2n?62+C3n?63+等+Cnn?6n],通过变形,逐步消除和题设形式的差异,从而得以逆用二项式定理求解.
2. 活用通项
例2 在二项式[（1x4+x23）n]的展开式中倒数第[3]项的系数为[45],求含有[x3]的项的系数.
解析 由条件知,[Cn-2n等于45],即[C2n等于45],解得,[n等于10],或[n等于-9]（舍去）.
由题意得,[Tr+1等于Cr10（x-14）10-r（x23）r等于Cr10x-10-r4+23r].
令[-10-r4+23r等于3],∴[r等于6].
故含有[x3]的项是第[7]项,[T6+1等于C610x3等于210x3],其系数为[210].
点拨 此例为求某项的系数问题,先由题意求出[n]是解题的突破口,进而利用通项公式求出[r],最终再利用通项公式求得结果. 这里的二项式系数和通项公式是二项式定理的核心元素,应熟练掌握,并能灵活应用. 注意,在求解进程中,应先将根式化为指数式,以方便运算.
例3 求二项式[（x2+12x）10]的展开式中的常数项.
解析 由题意得,
[Tr+1等于Cr10（x2）10-r（12x）r等于Cr10（12）rx20-52r].
令[20-52r等于0],则[r等于8].
所以,展开式中的常数项为第九项,
[T9等于C810（12）8等于45256].
点拨 此例是求常数项问题. 在通项公式中令[x]的指数为0,则该项就变为了常数项,由此求得[r等于8],也就自然求出了常数项.
例4 求二项式[（x-x3）9]展开式中的有理项.
解析 由题意得,
[Tr+1等于Cr9（x12）9-r（-x13）r等于（-1）rCr9x27-r6].
令[27-r6∈Z]（[0≤r≤9]）,则[r等于3],或[r等于9].
当[r等于3]时,[27-r6等于4],[T4等于（-1）3C39x4等于-84x4].
当[r等于9]时,[27-r6等于3],[T10等于（-1）9C99x3等于-x3].
所以,展开式中的有理项为[-84x4],[-x3].
点拨 对于求有理项问题,应先得出通项公式,整理后使[x]的指数为整数即可. 求解过程中,要注意讨论或验证,防止出错.
3. 巧用二项式系数特点或性质
例5 若[（x2+1x3）n]展开式中偶数项系数和为[-256],求[n].
解析 设[（x2+1x3）n]展开式中各项系数依次为[a0,a1,???an,]
[令x等于-1],则有[a0-a1+a2-a3+???+（-1）nan等于0] ①.
[令x等于1],则有[a0+a1+???+an等于2n] ②.
①-②得,[2（a1+a3+a5+???）等于2n].
[∴a1+a3+a5+???等于2n-1].
由题意得,[2n-1等于256等于28],[∴n等于9].
点拨 本题是利用“奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和”这一性质求解的,解题过程中用到了“赋值法”,此法是二项式定理中的一种重要方法,应熟练掌握,灵活应用.
例6 已知[（12+2x）n],若展开式中第5项,第6项和第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.
解析 由题意,[∵C4n+C6n等于2C5n,][∴n2-21n+98等于0.]
∴[n等于7, 或n等于14].
当[n等于7]时,展开式中二项式系数最大的项是[T4]和[T5],[T4]的系数为[C37（12）423等于352],[T5]的系数为[C47（12）324等于70].
当[n等于14]时,展开式中二项式系数最大的项是[T8],[T8]项的系数为[C714（12）727等于3432].
点拨 利用等差数列,求出[n等于7或n等于14]是解题的前提,然后利用“中间项二项式系数最大”的性质求解. 解题过程中,要注意“二项式系数”和“某一项的系数”的区别.
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参考文献：
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