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摘 要：首次积分法是一种求解非线性偏微分方程解的有效方法,在本文中,我们利用首次积分法获得了推广的Camassa-Holm方程的精确尖波解.
关键词：首次积分法;推广的Camassa-Holm方程;尖波解
中图分类号：O175.29文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）02-0072-04
0引言
非线性波动方程是非线性科学研究的一个重要分支,其求解问题一直是非线性科学研究中的前沿和热点.非线性波动方程精确解的研究不仅有助于理解孤立子理论的本质属性和代数结构,而且对相应自然现象的合理解释及实际应用将起到重要的作用,因此利用各种方法寻求非线性波方程的精确解是一件非常重要而有意义的工作.近年来,许多寻求非线性波方程精确解的方法被提出,如齐次平衡法[1],tanh-function法[2],Jacobi椭圆函数展开法[3],F-展开法[4],Sub-ODE法[5],Backlund变换法[6],Darboux变换法[7]等.
基于交换代数环理论的首次积分法首先由冯[8]在求解Burgers-KDV方程时被提出,最近首次积分法被广泛使用来求非线性波方程的精确解[9-10].
考虑下面推广的Camassa-Holm方程
ut+2kux-b1uxxx+auux等于bux等于buxuxx-uuxxx,（1）
本文的主要工作是利用首次积分法获得方程（1）的精确尖波解.
1首次积分法
考虑下面的非线性偏微分方程
Fi（ui,uit,uix,uitt,uixx,uixt,等）等于0,i等于1,2,等,n,（2）
作行波变换
ui（x,t）等于ui（ξ）,ξ等于x-Vt,（3）
将（2）代入（1）,得到下面的常微分方程
Hi（u,u′,u″,等）等于0,（4）
引入新变量,设
Xi（ξ）等于ui（ξ）,Yi（ξ）等于X′i（ξ）（5）
由（5）可得常微分方程组
X′i（ξ）等于Yi（ξ）,（6）
Y′i（ξ）等于G（Xi（ξ）,Yi（ξ））,（7）
应用除法定理可以得到（6）,（7）的一个首次积分,从而将（6）,（7）变成一个可以积分的一阶常微分方程,解此常微分方程即可得到方程（2）的精确解.
利用首次积分法要用到如下的除法定理.
除法定理设P（ω,z）和都是复数域上的多项式,P（ω,z）在复数域上不可约,如果P（ω,z）的所有零点都是Q（ω,z）的零点,则一定存在复数域上的多项式G（ω,z）,使得Q（ω,z）等于P（ω,z）G（ω,z）.
2方程（1）的精确尖波解
假设
u（x,t）等于u（ξ）,ξ等于x-Vt,（8）
其中V是波速.
将（8）代入（1）得到下面的常微分方程
-Vu′+2ku′+Vu+auu′等于bu′u+uu,（9）
在（9）中对ξ积分有
R+（2k-V）u+Vu″+a2u2等于b-12u′2+uu″,（10）
其中R为积分常数.
江苏理工学院学报第20卷
第2期
马强,江波：首次积分法求非线性微分方程的精确尖波解
由（5）,（6）和（7）,得到
dXdξ等于Y,（11）
dYdξ等于R+（2k-V）X+a2X2-b-12Y2X-V,（12）
作如下的变换
dξ等于（X-V）dτ,（13）
则有
dXdτ等于（X-V）Y,（14）
dYdτ等于R+（2k-V）X+α2X2-b-12Y2.（15）
根据首次积分法,设X（ξ）,Y（ξ）是方程组（14）,（15）的非平凡解且存在复数域上关于X,Y的不可约多项式,使得
Q（X,Y）等于∑mi等于0ai（X（τ））Y（τ）i等于0,（16）
其中ai（X）,i等于0,1,等,m是关于X的多项式,且am（X）≠0,方程（16）称为（14）,（15）的首次积分.由除法定理知存在复数域上的多项式g（X）+h（X）Y使得
dQdτ等于QX dXdτ+QY dYdτ等于g（X）+h（X）Y∑mi等于0ai（X（τ））Y（τ）i.（17）
下面对（16）中m等于1的情形进行研究.
令方程（17）两边Yi,i等于0,1,2的系数相等,有
a1（X）R+（2k-V）X+a2X2等于a0（X）g（X）,（18）
a′0（X）（X-V）等于a1（X）g（X）等于a0（X）h（X）,（19）
a′1（X）（X-V）等于h（X）+b-12a1（X）.（20）
因为ai（X）,i等于0,1,h（X）都是多项式,由（20）知h（X）是常数,显然对a0（X）,a1（X）最简单的情形是取h（X）等于1-b2,从而a1（X）是一个常数,为计算方便,不妨设a1（X）等于1.又由（19）知
g（X）等于a′0（X）（X-V）-1-b2a0（X）,（21）
所以deg（g）X））等于deg（a0（X））,进一步结合（18）得deg（g（X））等于deg（a0（X））等于1.
设a0（X）等于A0+A1X,g（X）等于B0+B1X,Ai,Bi,i等于1,2为待定的常数,将它们代入（18）,（21）并令方程两边Xi,i等于0,1,2的系数相等,得到下面的代数方程组
A0B0等于R,A0B1+A1B0等于2k-V,A1B1等于a2,1-b2A0+B0等于-A1V,1-b2A1+B1等于A1,（22）
总结:本文关于微分方程论文范文,可以做为相关论文参考文献,与写作提纲思路参考。
参考文献：
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