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收稿日期： 2014-02-26； 修回日期： 2014-04-06
基金项目： 湖南省社科基金项目（13YBA030）、国家自然科学基金项目（71203241）、湖南省社科基金项目（11YBB039）
作者简介： 何颖媛（1982—）, 女, 湖南邵阳人, 中南大学商学院博士研究生,长沙学院工商管理系讲师, 研究方向： 农村金融和风险管理.
摘 要：引入状态空间模型对传统两因子CBD模型拟合阶段和预测阶段进行联合建模,并基于卡尔曼滤波方法对模型参数进行估计.进一步考虑到死亡率数据的小样本特征,结合Bootstrap仿真技术和生存年金组合折现模型对长寿风险进行测度.利用1996～2011年数据展开实证研究,结果表明：结合模型解释能力、参数估计结果和误差项正态分布检验结果,两因子状态空间模型要优于传统CBD模型；年金组合规模的扩大可以消除微观长寿风险,但不能消除宏观长寿风险和参数风险；宏观长寿风险占据着不可分散风险的主导地位.
关键词： 状态空间模型；卡尔曼滤波估计；Bootstrap仿真；长寿风险
中图分类号：F840.32 文献标识码： A 文章编号：1003-7217（2014）05-0024-05
一、引 言
伴随着生活方式的转变、生活水平的不断提高和医疗系统的完善,死亡率模式亦随之变化.未来死亡率的非预期性降低致使人类存活年限不断增加,政府面临的退休金和养老金成本不断增加,保险公司面临的风险急剧增大,长寿风险随之凸显.然而,由于长寿风险的不确定性,对其进行适当的干预管理面临挑战.长寿风险的不确定性很大程度来源于未来死亡率难测度性和长寿风险测度方法的选择,因此,解决这两个问题,对长寿风险的识别和控制有着重要作用,对政府和保险公司的决策具有重大的现实意义.
目前,关于死亡率的模型大致可以划分为两大类,具体包括确定死亡率模型和随机死亡率模型.其中,确定型死亡率模型主要包括“Gompertz生存法则”[1]、“Makeham生存法则”[2]、“Thiele生存法则”[3]及“Heligman Pollard生存法则”[4].然而,生存法则模型由于模型参数不能刻画死亡率的时变特征而存在较大误差.随机型死亡率模型主要包括LC模型[5]和CBD模型[6].但是,两者均分两个阶段进行参数估计,模型解释能力受到很大限制.一些学者对现有的随机死亡率模型展开比较分析,结果发现并不存在任何一种模型完全优于其他模型,预测精度过于依赖现实条件[7-9].
国内关于死亡率的建模和长寿风险测度尚处于起步阶段,主要集中于LC模型的简单应用.有的研究了LC模型在我国人口死亡率预测中的应用[10-14]；有的通过建立生存年金组合现值模型,分析了长寿风险带来的养老成本问题[15,16].
基于以上认识,本文拟利用状态空间模型对两因子CBD模型拟合阶段和预测阶段进行联合建模,并基于卡尔曼滤波方法对模型参数进行估计.结合死亡率数据的小样本特征,综合运用Bootstrap仿真技术和生存年金组合折现模型来测度长寿风险的重要性,并利用中国数据展开实证研究.
二、两因子状态空间模型及卡尔曼滤波估计
假定dx,t表示年龄为x的人群在日历年t的死亡人数；ex,t表示年龄为x的人群在日历年t的死亡风险暴露数；为此,年龄为x的人群在日历年t的死亡率和生存概率分别为qx,t等于dx,t/ex,t和px,t等于1-qx,t.
(一)两因子随机死亡率状态空间模型
传统CBD两因子随机死亡率模型的预测阶段反映了两时变参数在外界环境作用下的动态变化,比如生活水平的改善和重大瘟疫的爆发将会使得公共因子呈现下降和上升相反的变动趋势,可以将其视为状态方程.拟合阶段则将死亡率和系统的状态联系起来,可以将其视为量测方程.基于此,可以得到两因子随机死亡率状态空间模型.
假定N表示样本的年龄跨度,T表示样本的时间跨度.为表述方便,令zxi,t等于log it（qxi,t）；H等于[IN,B]N×2；B等于（x1-,x2-,等,xN-）"N×1；常数漂移项μ等于（μ1,μ2）"2×1,则观测变量zt等于（z1,t,z2,t,等,zN,t）"N×1；状态向量Xt等于（κ1t,κ2t）"2×1.此时,传统的CBD模型可以转化为如下状态空间模型：
量测方程： zt等于HXt+et （1）
状态方程： Xt等于AXt+μ+εt （2）
其中,观测噪声et等于（e1,t,e2,t,等,eN,t）"N×1服从标准正态分布且协方差为Rt,记作et～N（0,Rt）；过程激励噪声εt等于（ε1t,ε2t）"2×1服从二维标准正态分布,记作εt～N（0,Qt）.不同于传统CBD模型单独考虑两时变因子,本文引入常数矩阵A以考虑两时变因子的相互作用.
(二)卡尔曼滤波估计
定义t|t-1∈Rn表示已知时刻t以前状态条件下第t步的先验状态估计；t∈Rn表示在已知测量变量Zt条件下第t步的后验状态估计,则状态变量的先验估计误差和后验估计误差分别为et|t-1等于Xt-t|t-1和et等于Xt-t.此时,两误差的协方差分别为：
Pt|t-1等于E[et|t-1eTt|t-1]等于
E[（Xt-t|t-1）（Xt-t|t-1）T]（3）
Pt等于E[EteTt]等于E[（Xt-t）（Xt-t）T]（4）
其中,X-t等于At-1+μ,且两协方差矩阵有如下关系：
P-t等于APt-1AT+Qt.
上述过程被称为“时间更新方程”.
进一步,观测变量zt在已知时刻t以前状态条件下的先验估计为：
t|t-1等于Ht|t-1.同时对应的估计误差et和误差 协方差矩阵Ft分别为：et等于zt-t|t-1和Ft等于HPt|t-1HT+Rt,此时,得到如下“状态更新方程”：
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参考文献：
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