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摘 要：虽然现在的测绘仪器日益智能,同时也提供了仪器里面内置的线路软件,人机智能操作更加简单,但是作为工程技术人员,依然有必要熟悉线形计算过程.本文结合广州地铁某区间隧道工程线路施工测量过程,介绍线形线路的通用计算方法.

关键词：施工测量；平面曲线；线形计算；曲线要素

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引言

在公路、铁路曲线桥梁和隧道工程施工中,有一些复杂的计算都和线路的线形有关.线路中线平面曲线要素,无论设计或施工以及测量都要准确计算,以反映线形、控制线位,给各种结构物和路基土石方工程施工提供依据.虽然现在的测绘仪器日益智能,同时也提供了仪器里面内置的线路软件,人机智能操作更加简单,但是作为工程技术人员,依然有必要熟悉线形计算过程.

2 平面线形组合方式

平面曲线有圆曲线和缓和曲线（又叫回旋曲线,图一）,圆曲线是具有一定曲率半径的圆弧,缓和曲线一般是连接直线和圆曲线的,其曲率半径由无穷大变化至圆曲线半径.若线路转向角接近或超过180°时,则应用回头曲线（也叫套线,图一）连接,回头曲线也是由圆曲线和缓和曲线组成.

圆曲线又分为具有单一半径的曲线的单曲线和具有两个或两个以上不同半径的复曲线两种.不论哪一种平面曲线,都由圆曲线和缓和曲线组合而成,计算时将它们分别处理.

3 线形实例

图二是广州地铁某区间隧道结构轨道中心线简图,结构施工测量放样是以轨道中心线（两端带缓和曲线的圆曲线）作为控制线,因此首先要将轨道中心线测设出来.曲线在实地测设前,必须进行曲线要素及其主要点的里程、坐标计算,曲线主要点对整条曲线起着控制作用.曲线主要点定出之后,还要根据工程精度要求沿着曲线加密曲线桩,才能比较准确的反映曲线的形状.

这是一条具有缓和曲线的圆曲线,其主要点里程及部分参数在设计图中已经给出.本工程的主要测量仪器是全站仪,根据工程特点,主要采用坐标放样法,因此需要求出曲线加密桩点坐标.

计算坐标点时一般要先建立以ZH或HZ点为原点,切线为x轴、ZH点上缓和曲线的半径为y轴的直角坐标系,如下图所示：

缓和曲线范围内的坐标

x1等于l-ls40R2L2S+l93456R4L4s

y1等于l36RLs-l7336R2l3s+l1142240R5L5

式中：Ls为缓和曲线长度,l为ZH至计算点i距离.

圆曲线范围内的坐标

θ等于L-LsπR+β0

x2等于Rsinθ+m

y2等于R(1-cosθ)+p

其中m、β0、p为缓和曲线参数

式中：Ls为缓和曲线长度,l为ZH至计算点j距离

由于图纸设计和施工坐标系统采用地铁控制网绝对坐标系统,按上面步骤计算的坐标值还不能直接使用于放样测量,需要将它们进行坐标变换.

由上面的计算过程可看出,曲线计算涉及参数较多,特别是加密桩点较多时,所要处理的数据更多,但有一定的规律.为了使计算方法具有通用性,并且能在计算机上编制成程序进行应用,同时也让测量人员加深了解线形计算方法和过程,本文设计了下面用于线形计算的通用计算方法.

4 线形通用计算方法

考虑到无论是公路还是铁路,线路的线形都是由直线、圆曲线和缓和曲线等以不同的组合形式连接而成,可以把任何一条线路的中线线形看作是由若干段圆曲线和缓和曲线两种线段相间光滑连接而成.当两相邻曲线段同为圆曲线或同为缓和曲线时,可以认为其中夹了一段长度为零的缓和曲线或圆曲线；同时把直线段看作是半径充分大的圆曲线.如此处理,整条曲线就很有规律了.

为确定曲线段上点的坐标,需要知道曲线段起点坐标（X0,Y0）和切线方位角α0作为计算的起算数据,此外还要知道曲线段的长度L0和转向及起点和终点的曲率半径R1、R2,这些数据可从设计图纸上的线路交点参数取得.

数学上,一般曲线上任一个点J的切线方位角和坐标计算公式如下：

α等于α0+∫s0k(s)ds

X等于X0+∫s0cos(α)ds

Y等于Y0+∫s0sin(α)ds（§4-1 ）

其中（X0,Y0）、α0为该曲线的起点坐标和切线方位角（前进方向）.利用这个公式,给定里程桩号,就可计算线路中任意一点的坐标和切线方位角.实际使用中,公式（§4-1）要根据直线、圆曲线和缓和曲线等不同线段做具体化处理.为方便计算,先以起点（X0,Y0）为原点,切线方向（前进方向）为X轴建立如图三的相对坐标系.求出相对坐标之后再做坐标变换.同时,设TR为线路偏转方向变量,（TR等于1）表示曲线右转,（TR等于-1）表示曲线左转,这时公式（§4-1）变化为：

β等于∫s0k(s)ds

XP等于∫s0cos(β)ds

YP等于TR×∫s0sin(β)ds（§4-1a）

α等于α0+TR×β

X等于X0+XP×cos(α0)-YP×sin(α0)

Y等于Y0+XP×sin(α0)-YP×cos(α0)（§4-1b）

当线段为直线时

β等于0XP等于SYP等于0 α等于α0X等于X0+XP×cos(α0)Y等于Y0+XP×sin(α0)（§4-2a）

当线段为圆曲线时

β等于SRXP等于R×sin(β)YP等于R［1-cos(β)］×TR

将公式按级数展开成为线长S的参数方程得

β等于SRXP等于S-S36R2+S5120R4YP等于(S22R-S424R3+S6720R5)×TR（§4-2b）

坐标变换公式使用（§4-1b）

当线段为缓和曲线时,有两种情况值得注意,一是缓和曲线用于连接直线和圆曲线,这是通常的情况,缓和曲线的曲率半径从无穷大变化到圆半径；二是缓和曲线用于连接两个圆曲线,缓和曲线的曲率半径从一个圆半径R1变化到另一个圆半径R2,这种情况常在复曲线中出现,并且这种情况代表了最一般的情形.因此通用计算应该按这种情形设计,此时,其曲线半径变化率c可以这样表示为：

C等于Ls•R1•R2R1-R2（设R1＞R2）

当它用于连接直线和圆曲线时,R1等于∞,上式即变为一般缓和曲线的曲率,半径变化率c等于LSR2.作为通用的计算方法设计,应该考虑这种情况.

因β等于l22c. （推导过程略）, 代入式（§4-1a）得 β等于S22C

XP等于∫s0cos(l22c)dl

YP等于TR×∫s0sin(l22c)dl

对cos(l22c)和sin(l22c)用级数展开,代入上式并进行定积分,即得到以曲线长S为参数的缓和曲线方程：

C等于Ls•R1•R2R1-R2β等于S22c

xp等于S-S540C2+S93456c4—等

yp等于(S36c-S7336c3+S1142240C5—等)×TR（§4-2c）

坐标变换公式使用（§4-1b）

这里出现了两个圆半径R1和R2,它们不仅是计算的必要参数,在编制计算机计算程序时,它们还是重要的判定参数：

当圆半径大于某一给定大数,就可认为曲线段是一条直线段,否则：

当R1等于等于R2时,曲线是圆弧段；

当R1≠R2时,是缓和曲线.

式（§4-2a）、（§4-2b）、（§4-2c）和（§4-1b）即为以线长S为变量的线形计算通用计算公式,都是一般的数学公式,可以方便地编制成计算机程序.任一线段的终点即为下一段的起点,所以利用上面公式先依次求取各线段起点坐标和切线方位角,然后对线长为S的中桩J可求得其相应值.目前一些计算机软件的编程语言格式已经和数学语言很接近,并且提供了直接积分的能力,因此上述各式中,可直接使用积分式而不用级数展开式,能使程序编制得更加简洁有效.

5 线形计算总结

根据以上分析研究,编制成计算程序,我们在广州地铁多个隧道工程施工测量中实际应用,用上述方式取得线形坐标数据,其正确性和通用性是肯定的.计算机科学的发展普及,使测量工作者从传统的手工查表计算方式转变为直接解析计算；另一方面,智能化测量仪器的使用,实现了全站仪和计算机的双向通讯,使我们能建立控制点、放样点以及实测数据的作业数据库,能方便地进行点位坐标以及测量资料的查询、管理.通用计算方法的研究是实现这些功能的重要一步.通过计算机输入到全站仪建立“作业文件”,可以极大地提高工作效率.

参考文献

［1］李青岳,等.工程测量学［M］.测绘出版社,1995.

［2］贺国宏.桥隧控制测量［M］.人民交通出版社,1999.

［3］同济大学.高等数学［M］.高等教育出版社,2007.

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参考文献：

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