论文用数形结合思想证明半角公式是关于数形结合方面的论文题目、论文提纲、小学数学数形结合案例论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文。
高中数学必修4（北京师范大学出版社）第124页,对半角公式tanα2等于sinα1+cosα等于1-cosαsinα进行了证明,步骤如下：
tanα2等于sinα2cosα2等于sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2等于sinα1+cosα；
tanα2等于sinα2cosα2等于sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2等于1-cosαsinα.
上述方法,主要采取对分子、分母同时添项并化简的方法完成了上述证明.下面介绍一种利用数形结合思想进行证明的方法.
在平面直角坐标系中,以原点Ο为圆心,1为半径作单位圆,A是单位圆和x轴负半轴交点,B是单位圆上的点,连接AB、OB,设OB和x轴正半轴的夹角为α,则∠BAO等于α2,A点坐标（-1,0）、B点坐标（cosα,sinα）.（如图1所示）
当α∈（0,π）时,直线AB斜率kAB等于tanα2.
同时,AB斜率kAB等于ΔyΔx等于sinα-0cosα-（-1）等于sinα1+cosα,
则tanα2等于sinα1+cosα. （1）
再设x轴正半轴和单位圆交于点C,C点坐标（1,0）,连接BC.（如图2所示）
图1 图2
由圆的性质可知AB⊥BC,
BC斜率kBC等于等于ΔyΔx等于sinα-0cosα-1等于sinαcosα-1,
AB斜率kAB等于tanα2,因为AB⊥BC,所以kBC·kAB等于
-1,所以sinαcosα-1·tanα2等于-1,
所以tanα2等于1-cosαsinα. （2）
故由（1）（2）可知：
tanα2等于sinα1+cosα等于1-cosαsinα.
当α∈（π,2π）时,优弧BC对应圆心角为α,劣弧BC对应圆心角为2π-α,∠BA0等于∠ABO等于π-α2（如图3所示）
AB斜率kAB等于-tan（π-α2）等于tanα2,
且kAB等于ΔyΔx等于sinα-0cosα-（-1）等于sinα1+cosα,
则tanα2等于sinα1+cosα. （3）
再设x正半轴和单位圆交于点C,C点坐标（1,0）,连接BC.（如图4所示）
图3 图4
由圆的性质可知BC⊥AB,kAB等于tanα2,kBC等于ΔyΔx等于sinα-0cosα-1等于sinαcosα-1,kAB·kBC等于-1,所以tanα2等于1-cosαsinα. （4）
故由（3）（4）可知：
tanα2等于sinα1+cosα等于1-cosαsinα.
以上已经证明半角公式在（0,π）、（π,2π）中成立.
当α等于π,tanα2不存在,故α≠π；
当α等于0时,tanα2等于sinα1+cosα
所以半角公式在[0,π）∪（π,2π）上成立.
当α[0,π）∪（π,2π）时,设α等于β+2πk,β∈[0,π）∪（π,2π）,k∈Z,
则tanα2等于tanβ+2πk2等于tanβ2,
sinα1+cosα等于sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）等于sinβ1+cosβ,
1-cosαsinα等于1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）等于1-cosβsinβ.
证明同理.
（指导教师：王爱华）
作者简介 朱子健,淮北市第一中学高二学生,酷爱钻研,多次被学校评为发明创造之星.
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参考文献：
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