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【摘 要】本文以2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价为研究对象,对数据进行描述性统计分析、平稳性检验和相关性检验.建立ARMA（2,1）模型,对其残差序列进行ARCH效应检验,并通过建立GARCH模型消除其条件异方差性,从而建立ARMA（2,1）-GARCH（1,1）模型.比较t分布下和GED分布下的拟合模型,发现t分布下的更优.最后,预测在95%置信区间内黄金现货日收益率序列在未来100天内走势区间和条件标准差变化趋势,并对预测结果进行了验证.
【关键词】黄金现货价格 日收益率 ARMA-GARCH模型
一、引言
黄金作为一种具有金融属性的产品,其价格变化直接决定了黄金投资者和生产者的价值行为.而国际政治局势、利率政策、美元走势、原油价格、通货膨胀等因素相互交错作用对黄金价格产生影响.由于人们对黄金价格的关注度不断提高,对黄金价格的预测也成为众多学者的研究热点.如潘贵豪等利用ARMA-GARCH模型对黄金价格进行预测；许立平等利用ARIMA模型对黄金价格进行短期预测；罗祯利用ARIMA-ARCH模型对黄金价格动态走势进行预测；李莹等基于相空间重构处理的数据集,利用支持向量回归机对黄金价格走势进行短期预测.本文以2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价为研究对象,利用时间序列分析相关理论建立了学生t分布下的ARMA（2,1）-GARCH（1,1）模型,并进行实证分析.
二、ARMA—GARCH模型
ARMA-GARCH模型的结构如下：
其中,（2.1）式表示自回归滑动平均（ARMA）模型,m是自回归（AR）的阶数,n是滑动平均（MA）模型的阶数,εt是残差项,符合异方差的特征；（2.2）-（2.3）是阶数为p和q的广义自回归条件异方差（GARCH）模型,et～N（0,1）.
三、实证分析
(一)描述性统计
本文选取的样本数据为2009年1月5日至2017年1月3日期间上海黄金交易所的Au99.95的黄金现货收盘价（用p表示,单位为美元/盎司）,共计1946个样本数据,数据来源于锐思金融数据库.通过对数差分r等于lnpt-lnpt-1,其中pt表示黄金现货在t时刻的收盘价,得到黄金现货的日收益率.收益率的时间序列走势图如下：
从图1可以看出,黄金现货收益率序列的走势是平稳的,波动呈现明显的集聚特征,即每一次大的波动后会紧跟着另一次大的波动,可能存在条件异方差.
由图2可知,黄金现货收益率序列的偏度（Skewness）小于0,呈左偏分布；峰度（Kutosis）大于3,具有尖峰的特征；Jarp-Bera统计量显著大于11,且对应的P值趋于0,说明该序列显著地不服从正态分布.
(二)平稳性检验和相关性检验
采用单位根ADF检验黄金现货收益率序列的平稳性.调用MATLAB的adftest函数可得,ADF检验统计量为-46.64546,均明显小于显著性水平1%,5%和10%下的临界值,且对应的P值为0,故拒绝存在单位根的假设,即该序列是平稳的.
调用MATLAB中autocorr和parcorr函数绘制黄金现货收益率序列滞后20期的自相关和偏自相关图,见图3所示：
从图3（上）可看出,该序列除了在滞后1、16阶具有较小的相关性之外,没有显著的前后相关性.而由图3（下）可看出该序列没有显著的偏相关性.而这些相关函数都证实了黄金现货收益率序列是弱平稳的.同理,通过黄金现货收益率的平方序列的样本自相关和偏自相关图可知,平方序列具有显著的序列相关性,而收益率平方序列的相关性恰好反映的是序列波动的集聚特征,故可认为该序列存在ARCH效应.
此外,调用MATLAB中的lbqtest函数进行黄金现货收益率序列的LBQ检验,结果见表1所示.
表1 黄金现货收益率序列LBQ统计量
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由表1可知,收益率序列的Ljung-Box Q统计量延迟16、80期的P值都小于显著性水平0.05,且h为1,则拒绝原假设,认为该序列具有序列相关性.因此,需要对该序列进行自回归拟合以充分提取序列中的水平相关信息.另一方面,收益率序列平方的Ljung-Box Q统计量在延迟8、16、20期的P值均为0,且h为1,则拒绝原假设,认为该平方序列具有序列相关性.综上,黄金现货日收益率序列既具有水平相关信息又具有波动相关信息,该序列的时序图具有显著的趋势.于是,本文可建立ARMA模型,且需对其残差进行ARCH效应检验.
(三)ARMA-GARCH模型
1.ARMA模型定阶和残差分析.本文ARMA模型的定阶从两个方面考虑：一是模型的数据特征,即自相关函数和偏自相关函数；二是模型的定阶准则AIC和SIC.本文通过结合这两方面来确定ARMA模型的階数.比较发现ARMA（2,1）模型AIC值-9.0655较小,具有较优的拟合效果.
通过运用ARMA（2,1）模型拟合黄金现货日收益率序列后进行残差分析,绘制其残差序列波动图,发现该波动具有集群特征.再对收益率序列自相关和偏相关检验,发现在滞后6阶以内,残差项基本呈现白噪声,即收益率差序列不存在自相关.
2.ARCH效应检验和ARMA-GARCH模型建立.利用Matlab的arc htest函数检验上述模型残差序列的ARCH效应,得到的结果为h等于1,因此该日收益率残差序列具有很强的ARCH效应,可通过建立GARCH模型来消除该ARCH效应.
在上述ARMA（2,1）模型的基础上构造GARCH模型.考虑常见的GARCH（1,0）,GARCH（0,1）和GARCH（1,1）等,经调试发现GARCH（1,1）较为合适,从而建立ARMA（2,1）-GARCH（1,1）模型.
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参考文献：
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