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[摘 要] 行程问题的基本量为路程、速度、时间,三者的关系为：路程等于速度×时间（s等于vt）,行程问题除了路程关系,还有关于时间的描述（时间关系）和速度关系. 解复杂的应用题时,设未知数,列方程都需要根据相等关系进行.
[关键词] 相遇问题；追及问题；相等关系；应用题；行程问题
内容综述
行程问题是应用题中较重要的题型之一,也是较难的题型之一,很多学生对应用题有畏难情绪,就是从学行程问题开始的. 究其原因,第一,行程问题涉及的变化较多,有的涉及一个物体的运动,有的涉及两个甚至多个物体的运动. 涉及两个物体运动的,又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种. 第二,行程问题需要学生敏锐发觉多个量之间的关系,如时间关系、速度关系、路程关系及时间、速度、路程之间的关系. 第三,行程问题需要学生熟练运用一些综合方法解决问题,如方程思想、函数思想、不等式等. 本文主要讨论行程问题之相遇问题和追及问题.
教学内容再现
例1 甲、乙两站相距1080千米,一列快车从甲站开出,每小时行驶72千米,一列慢车从乙站开出,每小时行驶48千米,两车相向而行,几小时后相遇?
分析 画路程图找路程关系,快车的路程+慢车的路程等于总路程（如图1）.
解答 设两车相向而行,x小时后相遇,则有72x+48x等于1080,解得x等于9. 所以两车相向而行,9小时后相遇.
变式1 甲、乙两站相距1080千米,一列快车从甲站开出,每小时行驶72千米,一列慢车从乙站开出,每小时行驶48千米,两车相向而行,若快车先开1小时,则慢车开出多少小时后和快车相遇?
分析 画路程图找路程关系,快车的路程+慢车的路程等于总路程（如图2）.
解答 设慢车开出x小时后和快车相遇,则有72（x+1）+48x等于1080,解得x等于8.4. 所以慢车开出8.4小时后和快车相遇.
变式2 甲、乙两站相距1080千米,一列快车从甲站开出,每小时行驶72千米,一列慢车从乙站开出,每小时行驶48千米,两车相向而行,若慢车先开2小时,则慢车开出多少小时后和快车相遇?
分析 画路程图找路程关系,快车的路程+慢车的路程等于总路程（如图3）.
解答 设慢车开出x小时后和快车相遇,则72（x-2）+48x等于1080,解得x等于10.2. 所以慢车开出10.2小时后和快车相遇.
变式3 甲、乙两站相距1080千米,一列快车从甲站开出,每小时行驶72千米,一列慢车从乙站开出,每小时行驶48千米,两车相向而行,若两车同时开出,则开出多少小时两车相距120千米?
分析 （1）相遇前：画路程图找路程关系,快车的路程+慢车的路程+120等于总路程（如图4）.
（2）相遇后：画路程图找路程关系,快车的路程+慢车的路程-120等于总路程（如图5）.
解答 （1）设两车同时开出,开出x小时后两车还相距120千米才相遇,则有72x+48x+120等于1080,解得x等于8.
（2）设两车同时开出,开出x小时后两车背向相距120千米,则有72x+48x-120等于1080,解得x等于10.
综上所述,两车同时开出8小时或10小时,两车相距120千米.
例2 A,B两地相距480千米,一列慢车从A开出,每小时行驶50千米,一列快车从B开出,每小时行驶90千米.两车同时开出,若同向而行,快车在慢车后面,几小时后快车追上慢车?
分析 画路程图找路程关系：快车走的路程等于慢车走的路程+480（如图6）.
解答 设两车同时开出,若同向而行,快车在慢车后面,x小时后快车追上慢车. 可得90x等于50x+480,解得x等于12. 所以两车同时开出,若同向而行,快车在慢车后面,12小时后快车追上慢车.
一点见解
利用行程图找路程关系,这种方法是极好的. 因为图形直观、形象,它体现了数形结合思想. 著名数学家华罗庚先生说：“数和形,本是相倚依,焉能分作两边飞?数缺形时少直观,形少数时难入微. 数形结合百般好,隔离分家万事休. 切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离. ” 行程问题除了路程关系,还有关于时间的描述（时间关系）和速度关系. 教者似乎觉得时间和速度关系太简单了,因此忽略了对它们的分析. 然而,笔者认为它们一样重要. 关于时间的描述,描述的是运动物体的时间关系,这种关系常用在设未知数上.
关于时间的描述有：同时（即两运动物体的时间相等）、先出发（即先出发的物体时间多）、晚出发（即晚出发的物体时间少）、迟到或晚点（即遲到或晚点的物体时间多）、早到（即早到的物体时间少）、停留或耽搁（即停留或耽搁的物体时间少）等.
笔者试举一例说明此类教法.
例3 甲、乙两人相距40千米,甲先出发1.5小时后乙再出发,甲在后乙在前,二人同向而行,甲的速度是每小时8千米,乙每小时比甲少走2千米,甲出发几小时后追上乙?
分析 画行程图找路程关系（如图7）.
路程关系：由图及题意得甲走的路程比乙走的路程多40千米,即甲的路程等于乙的路程+40.
时间关系：由“甲先出发1.5小时”可知甲多用了1.5小时,即甲的时间等于乙的时间+1.5.
速度关系：由“甲的速度是每小时8千米,乙每小时比甲少走2千米”得甲的速度是每小时8千米,乙的速度是每小时6千米.
由时间关系间接设未知数（当然,直接设未知数也不难,只需把时间关系稍 形）：设乙出发x小时被追上,则甲的总时间为（x+1.5）小时. 可得8（x+1.5）等于6x+40,解得x等于14. 14+1.5等于15.5（小时）. 所以甲出发15.5小时后追上乙.
笔者以为,解复杂的应用题时,设未知数、列方程都需要根据相等关系进行. 不能在未进行分析的情况下“问什么就设什么为未知数”,应根据实际情况决定是否要间接设未知数.
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参考文献：
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