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关于三角形论文范文 一道三角形最值问题解法赏析和相关论文写作参考文献

分类:硕士论文 原创主题:三角形论文 更新时间:2024-03-05

一道三角形最值问题解法赏析和是关于三角形方面的论文题目、论文提纲、三角形符号论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文。

[摘 要] 在各类考试中,不乏会有一些典型的题目值得深入探究,教师要善于带领学生发现这些题目,应该让每一个优秀的数学试题发挥其最大的价值,让每一个数学问题的解决都渗透着重要的数学思想方法,才能體现出高效的学习效率.

[关键词] :解三角形;正弦、余弦定理;数学方法;一题多解

《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》(人教社A版)第一章中明确指出:一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.解三角形问题一般分为两类. 第一类,求三角形的边长或内角的大小;第二类,求三角形的边长或内角的取值范围(包括最值),一般第二类问题难度往往更大些. 2017年我校第二次模拟考试中就出现了这样一道题,下面将此题及其解答过程和各位读者分享一下,希望在学习和复习过程中对大家有所启示和借鉴.

试题呈现和简要分析

题目:如图1,在△ABC中,A等于,BC等于3,D是BC的一个三等分点,则AD的最大值是_______.

这是2017年河北省唐山市第二次模拟考试第16题,也是填空题的压轴题,本题主要考查在三角形中运用正弦、余弦定理进行边角转化及三角函数的有关公式的运用,利用求函数最值的各种数学方法求解三角形边长的最大值,同时考查学生的运算求解、逻辑推理能力,数形结合、转化和化归的数学思想. 试题言简意赅,内涵丰富,对学生能力要求较高,有较大的难度,是一道值得研究的优秀模拟试题. 从学生答题结果看,正答率仅为2%左右,根据学生考后反馈情况,一部分学生没有思路,放弃作答,大部分学生运用正弦、余弦定理做到一半时,无法继续求解,然后考虑特殊三角形,即△ABC为正三角形时,得到AD等于的错误结果. 另有极少数学生考虑到借助三角形的外接圆,运用圆的参数方程转化为三角函数最值问题,只可惜计算有误,着实令人可惜. 下面,我们从不同的角度对此题进行分析和求解.

思路分析及解法点评

(一)“两个定理”相得益彰,“三角函数”水到渠成

思路1:欲求三角形边长的最值,可以考虑用正弦、余弦定理将边长用某个内角的正弦或余弦值表示,进而转化为三角函数的最值问题. 为此,要选择一个角作为变量.

为说明问题方便,令AD等于t,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

解:如图1,在△ACD中,由余弦定理得t2等于b2+1-2bcosC①.

在△ABC中,由正弦定理得等于. 因为等于等于2,所以b等于2sin+C②.

将②代入①得t2等于12sin2+C-4sin+CcosC+1③,整理得t2等于4+2sin2C,显然当sin2C等于1,即C等于时,t2的最大值为4+2,所以AD的最大值是+1.

点评:在三角形中将边长用角的正弦、余弦表示,应属通性通法,这种方法的特点是将代数运算转化为三角函数的运算,减少了思维量,降低问题的求解难度,是解题者比较喜欢的方式之一.题中所给的A等于,BC等于3为对角和对边的关系,为进行边角的转化提供了有力保障. 此方法的难点在于③式的化简需要较强的运算能力,稍有不慎,便会前功尽弃,所以此解法对学生的三角函数运算能力往往有比较高的要求.

(二)“余弦定理”一枝独秀,“三角换元”助力求解

思路2:可借助∠ADB和∠ADC互补,在△ABD和△ACD中分别使用余弦定理建立边长之间的关系,将b2-bc+c2等于9进行配方处理,借助圆的参数方程进行三角换元,从而转化为三角函数最值问题.

解:如图1,在△ABC中,由余弦定理得b2-bc+c2等于9①.

同理,在△ABD中,得c2等于t2+4-4tcos∠ADB②,在△ACD中,得b2等于t2+1-2tcos∠ADC③.

由②③得3t2等于2b2+c2-6④,由b2-bc+c2等于9可得b-+等于9.

设b-等于3cosθ,等于3sinθ,其中θ∈[0,2π).

则3t2等于2b2+c2-6等于2(sinθ+3cosθ)2+12sin2θ-6等于6sin2θ+12≤6+12,当sin2θ等于1时,等号成立,所以t2≤4+2,t≤+1,即AD的最大值是+1.

点评:虽然此解法最终也是转化为三角函数求解,但它和思路1相比,存在明显不同. 首先,本解法在三个三角形中分别利用余弦定理得到边长之间的关系,而思路1则是通过正弦定理和余弦定理直接得到了三角函数关系式;其次,本解法的难点也是亮点在于对b2-bc+c2等于9进行配方换元,它不同于普通的三角换元,读者可以仔细加以比较,这种变形技巧在求解二元函数最值问题时比较常见.

(三)“平面向量”当仁不让,“均值定理”彰显威力

思路3:在△ABC中,由于A等于,b,c是变化量,可以用余弦定理得到边长a,b,c的等量关系,再借助向量的运算,将AD也用b,c表示,从而转化为二元函数的最值问题.

解:如图1,因为等于+,所以2等于2+·+2,即t2等于①.

在△ABC中,由余弦定理得b2-bc+c2等于9②,由①②可得t2等于,令u等于∈(0,+∞),则t2等于等于1+3等于1+.

所以t2≤1+等于4+2,当且仅当u+1等于,即u等于-1时,“等于”成立,此时c等于(-1)b. 可得AD的最大值是+1.

点评:向量,是沟通代数和几何的桥梁,其中以数量积公式最为重要,平面向量的数量积公式包含了长度和角度的运算关系,在三角形中,经常会运用数量积公式进行边角之间的相互表示,题中D是BC的一个三等分点是联想到用向量求解的重要条件.本解法的另一个难点在于等式b2-bc+c2等于9,常规想法是一个变量用另一个变量表示,将t2转化为含有一个变量的函数式,显然运算量较大,考场上不宜实施. 将①②相结合,考虑到“齐二次”的结构,令u等于,使得t2成为u的函数值,是本解法最大的亮点,这种替换在求解二元函数最值时经常用到,但需要存在“齐次”结构这样的特殊条件.若令v等于u+1,运用基本不等式求最值时运算量会更小些.

总结:本论文为免费优秀的关于三角形论文范文资料,可用于相关论文写作参考。

参考文献:

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