论文斯特瓦特定理纯几何证法是关于对写作瓦特论文范文与课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文瓦特了是什么意思论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料下载有帮助。
阿基米德（公元前287年—前212年）,古希腊数学家和物理学家,被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”,深得欧几里德《几何原本》的精髓,他的许多数学和物理上的独特思想和发现,已远远超越了他所处的那个时代.
单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说：“据史料记载,斯特瓦特定理（以下简称斯氏定理）,在公元前3世纪,由阿基米德首先发现并证明,1746年英国数学家斯特瓦特（Stewart）重新发现了它,可用来计算三角形中一些特殊线段的长（如中线、角平分线等）.”阿基米德如何证明斯氏定理,成为一个千古之谜,不过,圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研,借助三角形外接圆,得到了如下的纯几何证法,供读者参考指正.
斯特瓦特定理 如图1,P为△ABC底边BC上任意一点,则
AB2·PC+AC2·BP等于AP2·BC+BP·PC·BC.
证明 如图2,作△ABC的外接圆⊙O,P为底边BC边上一点,延长AP和⊙O交于D,连接BD、DC.不失一般性,设∠ABC>∠ACB,故过B点可作∠ABE等于∠ACB交AP于E点,同样,过C作∠ACF等于∠ABC交PD（或其延长线）于F点.由作法知∠ABE等于∠ACB,又∠ACB等于∠ADB,所以∠ABE等于∠ADB.又因为∠BAE等于∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB等于ABADAB2等于AE·AD等于（AP-EP）·AD等于AP·AD-EP·AD.等①
同理可证,△ACF∽△ACDAC2等于AF·AD等于（AP+PF）AD等于AP·AD+PF·AD.等②
在⊙O和△ABC中,∠BEP等于∠ABE+∠BAD.又∠ABE等于∠ACB,∠BAD等于∠BCD,所以∠BEP等于∠ACB+∠BCD等于∠ACD.
同理可证,∠PFC等于∠ACD.所以∠BEP等于∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF等于BPPCPF·BP-EP·PC等于0.等③
观察①、②、③式,为消去EP和PF,
故①×PC+②×BP,并略加整理（注意到③式）得,
AB2·PC+AC2·BP等于AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD等于AP·AD·BC等于AP（AP+PD）BC等于（AP2+AP·PD）BC,又因为AP·PD等于BP·PC（相交弦定理）,所以AB2·PC+AC2·BP等于AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS（〗〖JZ〗图3〖TS）〗
当∠ABC等于∠ACB时,△BEP和△CFP退化为BP、PC两条线段,此时,EP等于PF等于0（E、P、F三点重合）,③显然成立,其余证明完全相同.
需要说明的是：
（1）P为BC中点时,即BP等于PC时,可得2AB2+2AC2等于4AP2+BC2,此即为三角形中线公式.
（2）当AP为∠BAC的角平
分线时,由斯氏定理结合角平分线定理,可求出角平分线长度,AP2等于AB·AC-BP·PC,此即为另一著名的斯库顿定理（证明略）,同时也揭示出两定理之间的神秘关系.
参考文献
[1] 单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社,2002：350.
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参考文献：
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