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在平面图形中研究最短距离问题,是近年来各地中考命题的热点.2014年广州市中考卷第24题就以二次函数为背景,用存在性问题的方式,推陈出新,研究四边形的最短周长.本文尝试对该题进行一些探讨评析,供同行研讨.1 考题展示和思路探讨
题目：已知平面直角坐标系中两定点A（-1,0）,B（4,0）,抛物线y等于ax2+bx-2（a≠0）过点A、B,顶点为C.点P（m,n）（n<0）为抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标.
（2）当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
2 考题特点评析
2.1 能力要求层次分明,知识点交汇相融
本题为函数和图形结合的综合题,压轴味道浓厚.三个小题彼此关联,能力要求层次鲜明.第（1）问,面向全体,是考查最为基本的运用待定系数法求二次函数解析式、顶点坐标等常规要求；第（2）问,面向中层,有一定的挑战性,考查学生灵活运用知识的水平,结合相似三角形或勾股定理的相关知识,研究抛物线上动点坐标的变化规律；第（3）问,具有浓郁的选拔色彩,较为复杂,需要具有较高的综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.如果学生之前没有积累一定量的解决最短路径问题的经验,那毫无疑义在考场上将面临极大的挑战.其对应的知识点主要有：轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质、待定系数法求直线解析式等.同时,在各小问知识点之中,充分融汇了方程和函数、分类讨论、数形结合、转化等重要的数学思想方法,成为一个以函数为载体,以图形性质为内核的完美统一的有机整体.
2.2 源于课本,拓展教材思维空间
第（3）问“四边形周长最短问题”其实是源于人教版《数学》教科书八年级上册“134课题学习：最短路径问题”.类比教材86页的“造桥选址问题”,河流相当于两条平行直线k、l所夹部分,桥梁MN相当于线段C′P′,不同的只是原分居于河流两侧的两定点A、B,在这里变成在“河流kl”的同侧.如果以直线l为对称轴,作点A的对称点A′,则问题也就转变为研究从A′到B的路径A′C′P′B最短问题了（图7）.至此我们看到,第（3）问本质上就是“造桥选址问题”,其解决的基本策略就是利用轴对称和平移的知识,将问题逐步转化为“两点之间,线段最短”的数学模型.当然,命题者推陈出新,将原和河流垂直的桥梁MN,变成了现在和“河流”成一固定交角的CP,拓展了思维的空间,也增加了数学的趣味性.3 教学思考
3.1 提高对“综合和实践”课程内容的认识
本题第（3）问从内容形式上讲,当属“综合和实践”部分.数学课程内容分为“数和代数”、“图形和几何”、“统计和概率”和“综合和实践”四部分.就“综合和实践”部分,《课标（2011年版）》明确指出,其设置目的就是“培养学生综合运用有关知识和方法解决实际问题,培养学生的问题意识、应用意识、创新意识,积累活动经验,提高解决现实问题的能力.”并且明确要求“应当保证每学期至少一次”的教学活动.在教材形式上,综合和实践内容是以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索”类习题等多种方式呈现的,分散于全书各章之中,并和相关的主要数学内容较紧密地结合.比如“最短路径问题”,正是人教修订版教材中新增的一个课题学习活动.在教学中,要重视并保证这样的课题学习活动的有效开展,使学生在整体理解数学内容的同时,也能积累并创造出解决实际问题的经验和策略,并逐步形成他们的数学思维能力.
3.2 注重对解题基本模式的整理积累
罗增儒教授在《数学解题学引论》中提出数学解题的四步程式：“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”.他认为解题最关键的就是“理解题意,模式识别”的过程.“在弄清条件、弄清结论的同时,努力在条件和结论之间找出直接的联系——化归为已经解决的基本问题.在每个人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有一些基本模式和经典题型,对于大量的常规题来说,题意弄清楚了,题型就得以识别,记忆中关于这类题的解法就召之即来,这就是模式识别.”比如本题的最短周长,说千道万,最后终归落幕于“最短距离问题”.所以在教学中,我们要注重以典型问题或经典题型为抓手,做好数学解题方法的归类和积累,以帮助学生形成较为完善的数学解题模式体系.
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参考文献：
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