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学生在学习数学中,不可避免地会发生错误.我们对错误要有正确的认识,首先,不要害怕学生犯错误,错误往往是正确认知的前兆,这正是失败乃成功之母,错误是重要的学习资源.其次,要引导学生主动积极地发现错误,发现错误之时,是发展思维的最佳时机.再次,培养学生及时反思纠正错误的习惯,吃一堑长一智.笔者在三角形中三个求解范围问题的教学中,帮助学生发现错误,纠正错误,发展思维,现整理成文和大家交流.
1 弄清构成三角形的充要条件
问题1 已知△ABC的三条边a,b,c成等比数列,且a+b+c等于9,求b的取值范围.
学生的典型解法：
解 因为a,b,c能成为三角形的三条边,所以a-c<b<a+c;
因为a,b,c成等比数列,所以b2等于ac;
再结合a+b+c等于9,得到a,b,c应满足
a-c<b<a+c,①
b2等于ac,②
a+b+c等于9,③
由③式得a+c等于9-b, ④
由①得（a-c）2<b2<（a+c）2,即（a+c）2-4ac<b2<（a+c）2 , ⑤
将② ④代入⑤得（9-b）2-4b2<b2<（9-b）2, ⑥
由⑥左边不等式解得b>95-94或b<-95-94（舍去）,由⑥右边不等式解得b<92.
综上,b的取值范围为（95-94,92）.
但本题的参 是（95-94,3],是学生解错了,还是参 错了?对此,开展了如下的教学活动.
师：请同学们比较两个答案,你发现了什么?有什么想法?请大家分析究竟哪个答案是正确的.
生1：我发现我们得到的答案比参 的范围大,多出了区间（3,92）内的值.
生2：我在区间（3,92）内取一个特殊值b等于4试了一下.发现当b等于4时,ac等于16
a+c等于5,由此得a2-5a+16等于0,而此时Δ等于（-5）2-4×16等于-39<0,方程组无实数解,所以a,c不存在.由此可以肯定我们的解法错了.
师：那怎样改进你们的解法呢?
生3：生2的启发,我这样做：由②③ ac等于b2
a+c等于9-b得方程x2-（9-b）x+b2等于0应该有两正实数根Δ等于（9-b）2-4b2≥0-9≤b≤3.又因为b为正数,所以0<b≤3,再结合（95-94,92）得到正确的答案（95-94,3].
师：至此真相大白,忽视正数a,c的存在性是造成解答错误的根本原因.尽管错误解法中的错误是非常隐蔽的,但还是被同学们的智慧眼睛发现了！边b的取值不但要保证a,b,c可以构成三角形,而且还要保证边a,c（a,c是正实数）的存在性,我们不仅要发挥②③两式的消元转化作用,还要充分挖掘②③中隐含的不等关系.由此,我们得到这样的解题经验：对于等式,不但要发挥它们的等的功能,而且要挖掘其中隐含的不等关系,不但要重视等式相等的一面,还要重视不等的一面,把问题考虑周全.
2 弄清三角形中一个角是锐角的充要条件
问题2 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,12mb,c成等差数列,a,12b,c成等比数列,角B是锐角,求实数m的取值范围.
学生的典型解法：
解 因为a,12mb,c成等差数列,a,12b,c成等比数列,所以a+c等于mb,ac等于14b2.因为角B是锐角,所以a2+c2>b2. 又因为（a+c）2等于a2+c2+2ac,所以（mb）2>b2+12b2.由a+c等于mb得m>0.所以m>62.
学生得到的答案m>62是错误的,错在哪里?对此,开展了如下的教学活动.
师：角B是锐角的充要条件是a2+c2>b2吗?
生1：是的.
师：说出你的理由.
生1：由余弦定理知道,角B是锐角cos B等于a2+c2-b22ac>0a2+c2>b2（不少同学附和赞同）.
生2：我认为不是充要条件,例如,a等于100,b等于1,c等于2,虽然有a2+c2>b2,但b+c<a,这样的a,b,c不能组成三角形,角B根本不存在.
师：那还应该增加什么条件呢?
生3：再加上构成三角形的条件,任意两边之和大于第三边.
生4：由a2+c2>b2可以得到a+c>b.因为（a+c）2>a2+c2>b2,所以a+c>b.只要再增加a-c<b这个条件就可以了.
生5：我觉得,角B是锐角应该等价于0<cos B<1,只要增加cos B<1就可以了.
师：我们来看看cos B<1转化为边是什么限制条件,由cos B<1得a2+c2-b22ac<1,即a-c<b.真是殊途同归.由此我们得到,三角形中角B是锐角的充要条件是0<cos B<1a2+c2>b2
a-c<b.
生6：这个题目我会解了,在原来解法的基础上增加限制条件a-c<b,即（a-c）2<b2,
（a+c）2-4ac<b2,（mb）2-b2<b2,再结合上面得到的m>62,所以实数m取值范围是（62,2）.
师：忽视三角形的存在性是造成解答错误的根本原因.经过同学们的相互讨论,研究出三角形中角B是锐角的充要条件是0<cos B<1a2+c2>b2
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参考文献：
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