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关于定积分论文范文 赏析高考定积分试题相关论文写作参考文献

分类:毕业论文 原创主题:定积分论文 更新时间:2024-03-07

赏析高考定积分试题是关于本文可作为相关专业定积分论文写作研究的大学硕士与本科毕业论文定积分公式论文开题报告范文和职称论文参考文献资料。

定积分试题出现在很多省份的高考试卷中,在考查三基的基础上,在知识的交汇点上命题,以能力为立意,涌现出了许多创新题,值得我们关注和学习,下面从近几年的高考真题中采撷数例,予以深度解析,旨在探究题型规律,揭示解题方法.

1考查定积分的几何意义

例1(2014年山东理科第6题)直线y等于4x和曲线y等于x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().

A.22B.42C.2D.4

分析封闭图形的面积就是定积分的几何意义.

图1解先画出图形如图1,封闭图形就是阴影部分,联立y等于4x,

y等于x3,且在第一象限,得O(0,0),A(2,8),所以所求面积S等于∫20(4x-x3)dx等于(2x2-14x4)20等于4,故选D.

评注封闭图形的面积S等于∫ba[f(x)-g(x)]dx,这里x的范围从a到b,对应定积分的下限和上限,被积函数必须是上面的函数f(x)减去下面的函数g(x),所得定积分就是封闭图形的面积.

2函数的奇偶性在定积分中的应用

例2(2014年湖北理科第6题)若函数f(x),g(x)满足∫1-1f(x)·g(x)dx等于0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:

①f(x)等于sin12x,g(x)等于cos12x;②f(x)等于x+1,g(x)等于x-1;③f(x)等于x,g(x)等于x2.

其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是().

A.0B.1C.2D.3

分析根据题意,要使f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,则就使得∫1-1f(x)·g(x)dx等于0,即在x∈[-1,1]上,f(x)·g(x)为奇函数即可.因为任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0.

解①组f(x)·g(x)等于12sinx为奇函数,故①组为正交函数.②组f(x)·g(x)等于x2-1为偶函数,故②组不是正交函数.③组f(x)·g(x)等于x3为奇函数,故③组为正交函数,故选C.

说明任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0,例如奇函数y等于f(x)在关于原点对称的区间[-a,a]的图像如图2所示,因为奇函数的图像关于原点对称,所以封闭图形的面积S1等于S2,但是S1等于∫a0f(x)dx,

S2等于-∫0-af(x)dx,所以∫a-af(x)dx等于∫0-af(x)dx+∫a0f(x)dx等于-S2+S1等于0.

3换元思想在定积分中的应用

例3(2014年江西理科第8题)若f(x)等于x2+2∫10f(x)dx,则∫10f(x)dx等于().

A.-1B.-13C.13D.1

分析任何一个函数的定积分都是一个常数,所以∫10f(x)dx也表示一个常数.

解设∫10f(x)dx等于m,则由已知得f(x)等于x2+2m,所以∫10(x2+2m)dx等于m,(13x3+2mx)10等于m,13+2m等于m,m等于-13,所以∫10f(x)dx等于-13,故选B.

评注本题的关键是利用定积分的实质来代换定积分,否则就感到难以下手.

4定积分和三角函数交汇

评注求定积分关键是要找到原函数,利用微积分基本定理解出定积分;其次利用三角函数的图像和性质可求出其对称轴.

5定积分和几何概型整合

图3例5(2014年福建理科第14题)如图3,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到阴影部分的概率为.

分析很明显是利用定积分求面积的几何概型.从近几年的高考题可以看出,定积分和几何概型结合是高频考点,是常态化的整合.

解因为y等于ex和y等于lnx(x>0)互为反函数,所以它们的图像关于直线y等于x对称,图中的正方形也关于直线y等于x对称,所以两块阴影部分的面积相同.

所以S阴影等于2∫10(e-ex)dx等于2(ex-ex)10等于2,所以落到阴影部分的概率为p等于2e2.

例6(2010年全国新课程卷理科第13题)设y等于f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分∫10f(x)dx,先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,等xN和y1,y2,等yN,由此得到N个点(xi,yi)(i等于1,2,等,N),再数出其中满足yi≤f(xi)(i等于1,2,等,N)的点数N1,那么由随机模拟方案可得积分∫10f(x)dx的近似值为.

分析能画图的题目,就要想方设法画图,因为图形可以帮助我们构建解题的思路.又因为y等于f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,所以你可以画满足题意的任一函数都可以,不会影响结果.

则N1N≈∫10f(x)dx1×1得∫10f(x)dx≈N1N,故积分∫10f(x)dx的近似值为N1N.

评注学生用数形结合的思想解题,是学生会学数学的一个标志;此题考查了几何概型,定积分及其几何意义,综合性较强,很好地考查了学生对知识的理解深度和灵活应用的程度;题目新颖,匠心独运.

6用定积分求体积

例7(2013上海理科第13题)在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2等于1(x≥1)和(x-3)2+y2等于1(x≥3)、两条直线y等于1和y等于-1围成的封闭图形记为D,如图5中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为4π1-y2+8π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为.

分析大家知道加速度的积分是速度,速度的积分是位移.所以类比得出面积的积分是体积.

总结:本论文为免费优秀的关于定积分论文范文资料,可用于相关论文写作参考。

参考文献:

1、 多视角赏析一道经典IMO试题 [摘 要] 从不同角度研究第36届国际数学奥林匹克竞赛第二题,得出多种不同的解法,旨在说明研究解题和阐述思考過程 [关键词] IMO试题;多种。

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