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关于方程解法论文范文 一元三次,四次方程解法相关论文写作参考文献

分类:毕业论文 原创主题:方程解法论文 更新时间:2024-01-02

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中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2016)01-0213-01

1.一元三次方程的解法

定义:如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为三的方程叫做一元三次方程.

一元三次方程的一般形式:ax3+bx2+cx+d等于0,a≠0

1.1 形如x3+px+q等于0的一元三次方程的解法.设有方程x3+px+q等于0(1)

我们令x等于u+v,并代入方程(1)得(x+v)3+p(u+v)+q等于0

展开并整理得到u3+v3+q+(3uv+p)(u+v)等于0(2)为了减少(2)中的未知数,不妨设从而(2)变为3uv+p等于0u3+v3+q等于0根据伟大定理可知u3,v3是二次方程

y2+qy-P327等于0的两个根,解这个二次方程得从而有u1等于3-q2+q24+p327,u2等于ωu1,u3等于ωu1 v1等于3-q2-q24+p327,v2等于ωv1,v3等于ωV1

其中ω等于-1+3i2,ω等于-1-3i2

因此方程x3+px+q等于0三个解的公式是:

这个公式叫做卡丹(cardano)公式.

这里x等于u+v中u和v各有3个值,因此x等于u+v共有9个值,但是其中u,v的三个值满足条件uv等于-p3,所以原方程只有三个解x1,x2,x3.如

又如:u2v3等于-p3, u2v3等于-p3其中6个值不满足条件uv等于-p3.

下面讨论根的情况:

由以上可得一元三次方程的判别式:D等于q24+p327.

并且可知D决定了根的性质:

(1)当D>0时,u3,v3是不相等的两个实数,原方程(1)有一个实根和两个共轭虚根,即

(2)当D等于0时,u3等于v3等于-q2,原方程(1)有三个实根,并且其中两个相等,即x1等于u1+v1等于-23q2

x2等于x3等于u2+v3等于ωu1+ωv1等于u1(ω+ω)等于-u1等于3q2

(3)当D<0时,u和v都是复数,并且共轭复数,因为由|nz|=n|z|有

因为即u等于v即uj等于vj (j等于1,2,3)

设u1等于s+it是u的任意一个值,从而v1等于s-it,因此有

x1等于u1+v1等于2s

x2等于u1ω+v1ω等于12(u1+v1)+i32(u1-v1)等于-s-t3

x3等于ωu1+ωv1等于12(u1+v1)-i32(u1-v1)等于-s+t3

即D<0时原方程有三个互异的实根,它们是:

x1等于u1+v1,x2等于u1ω+u1ω,x3等于v1ω+v1ω

2.一般一元三次方程ax3+bx2+cx+d等于0的解法

设有一般地一元三次方程ax3+bx2+cx+d等于0 a≠0(1)

对它进行化简,目标是将它的二次项系数化为零.令x等于y+k,其中k是一个待定常数并代入(1) 得a(y+k)3+b(y+k)2+c(y+k)+d等于0

展开并整理得到ay3+(3ak+b)y2+(3ak2+2bk+c)y+(ak3+bk2+ck+d)等于0

取(2)把(2)代入(1)得ay3+(--b23a+c)y+(2b327a2-bc3a+d)等于0

即(3) .

其中p等于1a(--b23a+c),q等于1a(2b327a2-bc3a+d)

只要解出(3)的解,利用变化(2)就可以知道方程(1)的解.根据形如x3+px+q等于0的一元三次方程的解法可以知道方程(3)的三个解:又由x等于y-b3a方程的三个根x1,x2,x3.由以上的讨论可知方程ax3+bx2+cx+d等于0的解法步骤:(1)由a,b,c,d的值求k等于-b3a,p等于1a(--b23a+c),q等于1a(2b327a2-bc3a+d)

或x等于y-b3a代入原方程得y3+px+q等于0写出 的值,且写出x等于y-b3a.

(2)计算判别式D等于q24+p327和u3等于-q2+D,v3等于-q2-D其中根据u,v的值计算出y1,y2,y3的解.(3)把y1,y2,y3的值代入x等于y-b3a得到原方程的三个根x1,x2,x3.

3.一元四次方程的解法

定义:如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为四的方程叫做一元四次方程.

一元四次方程的一般形式:ax4+bx3+cx2+dx+e等于0 a≠0.

3.1 用待定系数法解一元四次方程.待定系数法的定义:为了求得某一个代数式可以根据这个代数式

的一般形式引入待定的系数,然后根据条件列出方程组,再通过解方程组来确定待定的系数值,这种确定未知代数式的方程叫做待定系数法.设有方程x4+ax3+bx2+cx+d等于0 a≠0

(1)令x等于y-a4并代入原方程消去三次项得y4+py2+qy+r等于0

设y4等于py2+qy+r等于(y2+ky+l)(y2-ky+m)等于y4+(l+m-k2)y2+k(m-l)y+lm

其中系数k,l,m是待定常数,通过比较系数得l+m-k2等于pk(m-l)等于qlm等于r

(3)若k等于0,则q等于0若k≠0时可解得l等于K3+pk-q2km等于 K3+pk+q2kr等于 (K3+pk)2-q24k2

(4)于是k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2等于0

(5)设k0是该方程的任意一个根,则由(4)有l0等于k03+pk0-q2k0,m0等于k03+pk0+q2k0

从而方程(2)变为(y2+k0y+l0)(y2-k0+m0)等于0

分别解方程(y2+k0y+l0)等于0和(y2-k0+m0)等于0

即可得方程(2)的解,并进一步得到方程(1)的解.

总结:此文是一篇方程解法论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。

参考文献:

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