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高中阶段函数的切线斜率与割线斜率的关系是一个常见问题,我们知道,拉格朗日中值定理是微分学中一个非常重要的基本定理,在教学中发现,不少高中老师和学生会自觉不自觉地应用格朗日中值定理（逆定理）去解切线斜率与割线斜率的关系的问题,但由于对拉格朗日中值定理（逆定理）理解上的不到位,常犯一些科学性的错误.本文就这一问题作些探究.
1 拉格朗日中值定理及其逆定理
推论1 若函数f（ x ）满足以下条件：（1）在闭区间[a, b]上连续,（2）在开区间（a, b）上可导,（3）在闭区间[a, b]上有拐点,则“定理2”在区间[a, b]被拐点分成的每个小区间上成立.（ 定理2及推论1的证明见文献[1]）
从以上的定理1、2及推论1可以做到到对高中数学解题非常好用的一个推论2.
推论2 若函数f（ x ）满足以下条件：（1）在闭区间[a, b]上连续,（2）在开区间（a, b）上可导,记函数f（ x ）在[a, b]（或[a, b）,（a, b],（a, b））内所有割线的斜率取值范围为集合A,记函数f（ x ）在（a, b）内所有切线的斜率取值范围为集合B,则A?B,当且仅当函数f（ x ）在（a, b）内没有拐点时A等于 B.
但由于高中阶段知识的局限性,解答中不推荐学生用“中值定理”“拐点”等知识解题.可用“构造函数法”来解：
反思 ①由以上分析不难发现,若能正确理解拉格朗日中值定理及逆定理,解此类题的选填题时用此定理解题优势明显,并且笔者发现许多函数无论定义在开、闭、半开闭区间上的割线斜率的取值范围都只能是开区间.不过至今还没给出证明,也举不出反例.②由于高中阶段学生所学知识的局限性,在高中阶段再对学生补充拐点等知识加重了学生学习负担,不切实际.因此,解此等类题的解答题时用构造函数法较为妥当.③建议出题者在出此等类型题时要避开简单的用拉格朗日中值定理把切割线“随意等价”替代后也能做到到正确答案的题目,如上述中把例2、例4中的“等于”去掉,若再用拉格朗日中值定理把切割线“随意等价”替代,那就无法做到到正确答案,给一线教师评卷带来极大的方便.
参考文献
[1]陈建威.关于拉格朗日（Lagrange）中值定理的逆定理问题.红河学院学报,1986（3）：133-138
[2]陈天明,李云杰.基于考试的数形结合思想研究.福建中学数学,2012（5）：-7
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参考文献：
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